Оценка опционов

Оценка опционов — это процесс определения справедливой стоимости опционов (колл- и пут-опционы). Опцион — это финансовый дериватив, который дает владельцу право, но не обязательство, купить или продать базовый актив по определенной цене (цене исполнения) на или до определенной даты.

Оценка опционов может быть сложной, поскольку на цену влияет множество факторов, таких как цена актива, волатильность, время до истечения срока и безрисковая ставка. Для определения справедливой цены применяются различные математические модели, среди которых наиболее известны Black-Scholes и биномиальные деревья.

🔹 1. Модель Black-Scholes

Модель Black-Scholes — это одна из самых широко используемых моделей для оценки европейских опционов (опционы, которые можно исполнить только в момент истечения срока). Она рассчитывает теоретическую цену опциона на основе нескольких ключевых факторов.

Ключевые факторы модели Black-Scholes:

• S (Цена акции): Текущая цена базового актива.

• K (Цена исполнения): Цена, по которой владелец опциона может купить (колл) или продать (пут) актив.

• T (Время до истечения): Время до истечения опциона, обычно выражается в годах.

• σ (Волатильность): Стандартное отклонение доходности актива, отражающее уровень риска или неопределенности.

• r (Безрисковая ставка): Доходность по безрисковому активу, например, государственным облигациям.

• C (Цена колл-опциона) и P (Цена пут-опциона): Цены колл- и пут-опционов.

Формула Black-Scholes:

Для колл-опциона: C=S0N(d1)−Ke−rTN(d2)C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)

Для пут-опциона: P=Ke−rTN(−d2)−S0N(−d1)P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)

Где:

• d1=ln⁡(S0/K)+(r+σ22)TσTd_1 = \frac{\ln(S_0 / K) + (r + \frac{σ^2}{2}) T}{σ \sqrt{T}}

• d2=d1−σTd_2 = d_1 - σ \sqrt{T}

• N(x) — это кумулятивная стандартная нормальная функция.

Ограничения:

• Модель Black-Scholes предполагает постоянную волатильность и безрисковую ставку, что редко бывает в реальных рынках.

• Она может применяться только для европейских опционов (которые можно исполнить только в момент истечения).

• Модель предполагает отсутствие транзакционных издержек или налогов.

🔹 2. Модель биномиальных деревьев

Модель биномиальных деревьев — это более гибкая модель оценки опционов, которая позволяет рассчитать цену опциона через дискретную временную структуру. Она может быть использована для оценки американских опционов, которые можно исполнять до истечения срока.

Ключевые особенности модели биномиальных деревьев:

• Дискретизация времени: Модель делит время до истечения на несколько небольших интервалов.

• Вверх и вниз: На каждом интервале цена актива либо увеличивается, либо уменьшается на фиксированную величину (называемую "коэффициентом роста" и "коэффициентом снижения").

• Риск-нейтральная вероятность: Модель предполагает, что вероятность роста или падения цены на каждый шаг корректируется по безрисковой ставке.

Шаги модели биномиальных деревьев:

1. Построение биномиального дерева: Цена базового актива изменяется дискретно, и дерево состоит из узлов, где каждый узел представляет возможную цену актива на конкретный момент времени.

2. Оценка опциона на последнем узле: На терминальных узлах (последней точке дерева) цена опциона рассчитывается на основе его платежа, который либо max⁡(S−K,0)\max(S-K, 0) для колл-опциона, либо max⁡(K−S,0)\max(K-S, 0) для пут-опциона.

3. Обратный расчет: Оценка опциона на каждом узле дерева производится путем работы с конца на начало, с использованием риск-нейтральной вероятности для дисконтирования будущих выплат.

Формула для колл-опциона: C=e−rΔt(pCu+(1−p)Cd)C = e^{-rΔt} \left(pC_u + (1-p)C_d\right) Где:

• C_u и C_d — значения опциона в случаях роста и снижения, соответственно.

• p — риск-нейтральная вероятность роста.

• Δt — временной шаг (продолжительность каждого интервала).

Преимущества модели биномиальных деревьев:

• Модель может использоваться для американских опционов (которые можно исполнить в любой момент до истечения).

• Она более гибкая, так как позволяет учитывать изменяющиеся параметры, такие как волатильность, ставки и дивиденды.

Ограничения:

• Модель более трудоемка в расчете, особенно для долгосрочных опционов или с большим числом временных шагов.

• Требует больше исходных данных для моделирования, что увеличивает сложность.

🔹 Сравнение моделей Black-Scholes и биномиальных деревьев

🔚 Резюме:

• Black-Scholes — это закрытая формула для оценки европейских опционов с постоянной волатильностью и безрисковой ставкой.

• Биномиальные деревья — это дискретный и гибкий метод, который может оценивать как европейские, так и американские опционы, учитывая изменяющиеся параметры с течением времени.

• Обе модели используются для расчета теоретической цены опционов, но выбор модели зависит от типа опциона и сложности факторов.