Value at Risk (VaR) и Conditional Value at Risk (CVaR)

Value at Risk (VaR) и Conditional Value at Risk (CVaR) — это ключевые инструменты в управлении финансовыми рисками. Они позволяют оценить потенциальные убытки инвестиционного портфеля при различных рыночных сценариях.

📉 Что такое VaR (Value at Risk)?

🔍 Определение:

VaR (стоимость под риском) показывает максимальный ожидаемый убыток за определённый период времени при заданном уровне доверия.

🧮 Формула (при нормальном распределении):

VaR=Zα⋅σ⋅t\text{VaR} = Z_{\alpha} \cdot \sigma \cdot \sqrt{t}

где:

• ZαZ_{\alpha} — Z-значение для уровня доверия (например, 1,65 для 95%)

• σ\sigma — стандартное отклонение доходности

• tt — временной горизонт (день, неделя и т. д.)

📌 Пример:

Портфель на сумму $1 млн, стандартное отклонение — 2% в день.
VaR при 95% уровне:

VaR=1,65×0,02×1=0,033=3,3%VaR = 1{,}65 \times 0{,}02 \times 1 = 0{,}033 = 3{,}3\%

Есть 5% вероятность потерять более $33,000 за один день.

✅ Особенности VaR:

• Выражается в денежных единицах или в процентах

• Используемые уровни доверия: 90%, 95%, 99%

• Методы расчёта:

  • Историческая симуляция

  • Дисперсионно-ковариационный метод

  • Монте-Карло моделирование

❗ Недостатки VaR:

• Не показывает, насколько велики убытки сверх VaR

• Часто предполагает нормальное распределение доходности

• Может недооценивать риски в нестабильных условиях

• Не является когерентной метрикой риска

📊 Что такое CVaR (Conditional VaR / Ожидаемый убыток сверх VaR)?

🔍 Определение:

CVaR, или ожидаемый убыток при худшем сценарии, показывает среднюю величину убытка при условии, что потери превышают уровень VaR.

📌 Формула:

CVaRα=E[L∣L>VaRα]\text{CVaR}_{\alpha} = E[L \mid L > \text{VaR}_{\alpha}]

где LL — потери портфеля, превышающие порог VaR.

📌 Пример:

Если VaR при 95% составляет $1 млн, а средний убыток в оставшихся 5% случаев — $1.4 млн, то:

CVaR=1,4 млнCVaR = 1{,}4 \text{ млн}

✅ Преимущества CVaR:

• Учитывает риски хвоста распределения

• Является когерентной метрикой риска (удовлетворяет аксиомам)

• Часто используется в регуляторной отчётности (Базель III, Solvency II)

🆚 Сравнение: VaR vs CVaR

📚 Заключение

• VaR даёт общее представление о возможных убытках при нормальных условиях.

• CVaR более точно отражает реальные риски, особенно при кризисах.

• Вместе эти методы позволяют оценить, ограничить и управлять финансовыми потерями.